UNIDAD 2 - METODO DEL PUNTO FIJO

MÉTODO DEL PUNTO FIJO
Un problema que se presenta con frecuencia es encontrar las raíces de ecuaciones de la forma , donde es una función real de una variable x, como un polinomio de x, o de una función trascendente. Sea la ecuación general
Se desea encontrar una raíz real. El primer paso consiste en transformar f(x) a una forma equivalente:
El siguiente paso es "tantear" un valor para la raíz, se hace una observación directa de la ecuación, se denota este primer valor por .
Una vez que se tiene  se evalúa g(x) en , el resultado se denota por .
g() =  El valor de  comparado con  presenta los dos siguientes casos:
Caso1:
=  Esto indica que el valor  elegido es una raíz y el problema queda concluido, ya que se cumple:
f ( ) = 0 Caso 2:
En este caso de obtiene  y además  En esas circunstancias se procede a una segunda evaluación de g(x), pero ahora en , se denota el resultado como .
Este proceso se repite y se obtiene un proceso iterativo hasta que
Ejemplo: Encontrar una raíz real de la ecuación: cos(x) - 3x =0 Solución:
x = cos(x) - 2x x = cos(x)/3

i		g ( )	f ( )
0	/ 8	0.30796	0.25422
1	0.30796	0.31765	0.02907
2	0.31765	0.31666	0.00298
3	0.31666	0.31666	0.00031
4	0.31676	0.31675	0.00003

Solución  = 0.31675 Algoritmo para el Método de Punto fijo Algoritmo: 1. Dada una función f (x) = 0 convertirla de la forma x = f(x)

Existen dos maneras de realizar esta operación: a) Agregar de ambos lados de la ecuación una x. b) Despejar la x del término de primer grado de la ecuación.

2. Elegir un valor inicial Xo. Este valor inicial debe cumplir con el criterio de convergencia:

| f’(x₀) | < 1

3. Obtener una nueva aproximación evaluando  la formula general del método

x _n+1  =  f ( x_n )

4. Evaluar la aproximación relativa

 | ( x _n+1 - x _n ) / x _n+1 | < Tolerancia No. (Falso) repetir el paso 3 y 4 Si . (Verdadero),  entonces  X_n+1  es la Raíz

Down load en lenguaje C  Método de aproximaciones sucesivas o de punto fijo.