Métodos para Sistemas de ecuaciones lineales
METODO DE GAUS
El método de Gauss resuelve un sistema de ecuaciones lineales de forma simultánea. El método consiste de dos fases. La primera fase se le conoce como “eliminación hacia adelante”, debido a que realiza una eliminación de coeficientes comenzando de arriba hacia abajo, hasta dejar una matriz de coeficientes del tipo triangular superior. La segunda se le conoce como “sustitución hacia atrás”, por que se parte de la última ecuación del sistema, para despejar la incógnita, la cual, ya se puede resolver debido a que en esa última ecuación únicamente se desconoce una incógnita, por el hecho de tener un sistema de ecuaciones de tipo matriz triangular superior.
EJEMPLO:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
3x1 – 0.1x2 – 0.2x3 = 7.85 Ec.1
0.1x1 + 7x2 -0.3x3 = -19.3 Ec.2
0.3x1 -0.2x2 + 10x3 = 71.4 Ec.3
ELIMINACION HACIA ADELANTE
Ecuación pivote = Ec.1
Elemento pivote = x1 (incógnita a eliminar de las ecuaciones restantes)
Se normaliza la ecuación 1 para restarla en Ec.2:
Para obtener la nueva Ec.2, se restan las ecuaciones
Ec.2 = Ec.2 – Ec.1’
0x1 + 7.003333x2 -0.293334x3 = -19.561666 Ec.2
Se normaliza la ecuación 1 para restarla en Ec.3:
Para obtener la nueva Ec.3, Se restan las ecuaciones
Ec.3 = Ec.3 – Ec.1’
0x1 -0.19x2 +10.02x3 = 70.615 Ec.3
El nuevo sistema de ecuaciones después de eliminar x1 de las ecuaciones 2 y 3, queda:
3x1 – 0.1 x2 – 0.2x3 = 7.85 Ec.1
+ 7.003333x2 -0.293334x3 = -19.561666 Ec.2
- 0.19x2 + 10.02x3 = 70.615 Ec.3
Nueva ecuación pivote = Ec.2
Elemento pivote = x2 (incógnita a eliminar de las ecuaciones restantes)
Se normaliza la ecuación 2 para restarla en Ec.3:
Para obtener la nueva Ec.3, se restan las ecuaciones
Ec.3 = Ec.3 – Ec.2’
10.012042x3 = 70.084293 Ec.3
El nuevo sistema de ecuaciones después de eliminar x2 de la ecuación 3, queda:
3x1 – 0.1 x2 – 0.2x3 = 7.85 Ec.1
7.003333x2 - 0.293334x3 = -19.561666 Ec.2
10.012041x3 = 70.084293 Ec.3
Método de Gauss - Jordan
Este método, que constituye una variación del método de eliminación de Gauss, permite resolver hasta 15 o 20 ecuaciones simultáneas, con 8 o 10 dígitos significativos en las operaciones aritméticas de la computadora. Este procedimiento se distingue del método Gaussiano en que cuando se elimina una incógnita, se elimina de todas las ecuaciones restantes, es decir, las que preceden a la ecuación pivote así como de las que la siguen.
El método se ilustra mejor con un ejemplo. Resolvamos el siguiente conjunto de ecuaciones
3.0 X1 - 0.1 X2 - 0.2 X3 = 7.8500
0.1 X1 + 7.0 X2 - 0.3 X3 = - 19.3
0.3 X1 - 0.2 X2 + 10 X3 = 71.4000
Primero expresemos los coeficientes y el vector de términos independientes como una matriz aumentada.
Se normaliza el primer renglón dividiendo entre 3 para obtener:
El término X1 se puede eliminar del segundo renglón restando 0.1 veces el primero del segundo renglón. De una manera similar, restando 0.3 veces el primero del tercer renglón se elimina el término con X1 del tercer renglón.
En seguida, se normaliza el segundo renglón dividiendo entre 7.00333:
Reduciendo los términos en X2 de la primera y la tercera ecuación se obtiene:
El tercer renglón se normaliza dividiendolo entre 10.010:
Finalmente, los términos con X3 se pueden reducir de la primera y segunda ecuación para obtener:
Nótese que no se necesita sustitución hacia atrás para obtener la solución.
Las ventajas y desventajas de la eliminación gaussiana se aplican también al método de Gauss-Jordan.
Aunque los métodos de Gauss-Jordan y de eliminación de Gauss pueden parecer casi idénticos, el primero requiere aproximadamente 50% menos operaciones. Por lo tanto, la eliminación gaussiana es el mé todo simple por excelencia en la obtención de soluciones exactas a las ecuaciones lineales simultáneas. Una de las principales razones para incluir el método de Gauss-Jordan, es la de proporcionar un método directo para obtener la matriz inversa.
Método de Jacobi
El método Jacobi es el método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales más simple y se aplica sólo a sistemas cuadrados, es decir a sistemas con tantas incógnitas como ecuaciones.
1. Primero se determina la ecuación de recurrencia. Para ello se ordenan las ecuaciones y las incógnitas. De la ecuación i se despeja la incógnita i. En notación matricial se escribirse como:
x = c + B x => donde x es el vector de incógnitas.
2. Se toma una aproximación para las soluciones y a ´esta se le designa por Xo.
3. Se itera en el ciclo que cambia la aproximación
xi+1 = c + Bx
Partiendo de (x = 1, y = 2) aplique dos iteraciones del método de Jacobi para resolver el sistema: Solución: Debemos primeramente despejar de la ecuación la incógnita correspondiente.
x = 0.20 + 0.00 x − 0.40 y
y = 0.00 + 0.25 x + 0.00 y
Escrito en la notación vectorial quedaría:
Aplicamos la primera iteración partiendo de x0 = 1.00 y y0 = 2.00:
x1 = 0.20 + 0.00 (1.00) − 0.40 (2.00) = −0.60
y1 = 0.00 + 0.25 (1.00) + 0.00 (2.00) = 0.25
Aplicamos la segunda iteración partiendo de x1 = −0.60 y y1 = 0.25:
x2 = 0.20 + 0.00 (−0.60) − 0.40 (0.25) = 0.10
y2 = 0.00 + 0.25 (−0.60) + 0.00 (0.25) = −0.15
Aplicamos la siguiente iteración partiendo de x2 = 0.10 y y1 = −0.15:
x3 = 0.20 + 0.00 (0.10) − 0.40 (−0.15) = 0.26
y3 = 0.00 + 0.25 (0.10) + 0.00 (−0.15) = 0.025
Aplicamos la siguiente iteración partiendo de x3 = 0.26 y y3 = 0.025:
x4 = 0.20 + 0.00 (0.26) − 0.40 (0.025) = 0.190
y4 = 0.00 + 0.25 (0.26) + 0.00 (0.025) = 0.065
Aplicamos la siguiente iteración partiendo de x4 = 0.190 y y4 = 0.065:
x5 = 0.20 + 0.00 (0.19) − 0.40 (0.065) = 0.174
y5 = 0.00 + 0.25 (0.19) + 0.00 (0.065) = 0.0475
Aplicamos la siguiente iteración partiendo de x5 = 0.174 y y5 = 0.0475:
x6 = 0.20 + 0.00 (0.174) − 0.40 (0.0475) = 0.181
y6 = 0.00 + 0.25 (0.174) + 0.00 (0.0475) = 0.0435
Convergencia del método de Jacobi: Uno de los principales problemas de los métodos iterativos es la garantía de que el método va a converger, es decir, va a producir una sucesión de aproximaciones cada vez efectivamente más próximas a la solución. En el caso del método de Jacobi no existe una condición exacta para la convergencia. Lo mejor es una condición que garantiza la convergencia, pero en caso de no cumplirse puede o no haberla es la siguiente:
“Si la matriz de coeficientes original del sistema de ecuaciones es diagonalmente dominante, el método de Jacobi seguro converge”.
Matriz diagonalmente dominante: Una matriz se dice matriz diagonalmente dominante, si en cada uno de los renglones, el valor absoluto del elemento de la diagonal principal es mayor que la suma de los valores absolutos de los elementos restantes del mismo renglón. A veces la matriz de un sistema de ecuaciones no es diagonalmente dominante pero cuando se cambian el orden de las ecuaciones y las incógnitas el nuevo sistema puede tener matriz de coeficientes diagonalmente dominante
Método de Gauss - Seidel o de desplazamiento sucesivo:
En análisis numérico el método de Gauss-Seidel es un método iterativo utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El método se llama así en honor a los matemáticos alemanes Carl Friedrich Gauss y Philipp Ludwig von Seidel y es similar al método de Jacobi.
Los métodos iterativos o aproximados proveen una alternativa en los métodos de eliminación.
Este es uno de los métodos mas interesantes del análisis numérico y particularmente útil ya que nos permite encontrar la solución de un sistema de “n” ecuaciones con “n” incógnitas.
Para comenzar es preciso mencionar que es un método iterativo, es decir que debe aplicarse recursivamente hasta encontrar una solución adecuada o con un error considerablemente pequeño.
Para resolver un sistema con gauss seidel debemos realizar los siguientes pasos:
Paso 1:
Verificar si el sistema es convergente
Un sistema es convergente cuando el valor absoluto del termino de la diagonal principal es mayor a la sumatoria de los absolutos de los demás coeficientes y es ahí cuando decimos que la matriz es diagonalmente domínate.
Paso 2:
Definir los valores iniciales
Se debe asignar valores arbitrarios a las incógnitas, las cuales se sustituirán en los despejes.
Paso 3:
Despejar las incógnitas
Se despejan las incógnitas que se encuentran en la diagonal principal
Paso 4:
Resuelva el procedimiento
Se resuelven las ecuaciones teniendo en cuenta que inmediatamente se encuentre una posible solución esta deber ser remplazada en la siguiente secuencia de operaciones.
Paso 5
Realizar la prueba de Escritorio
Remplazar las posibles soluciones en las ecuaciones iniciales. Si dichas soluciones no satisfacen las ecuaciones se debe repetir el proceso utilizando las ultimas soluciones
|
No hay comentarios:
Publicar un comentario